Stimmungssysteme

Ein Ton besteht aus vielen Teiltönen, so genannten Obertöne, die physikalisch gesehen Sinuswellen sind. Die tiefste Sinuswelle wird dabei als Grundton, die weiteren Obertöne werden als Klangfarbe wahrgenommen. Streng genommen muss diese tiefste Sinuswelle nicht einmal hörbar sein. Das menschliche Gehirn ist in der Lage, den Grundton zu hören, auch wenn nur deren Obertöne wahrnehmbar sind. Dieses Phänomen wird auch als Differenzton bezeichnet, z.B. in der Orgel wird das in Form akustischer Bässe genutzt. Obertöne stehen in festen Frequenzverhältnissen zueinander: 1:2:3:4:5:7:8 usw., die sich in reinen Intervallen äußern. Das Verhältnis einer Oktave liegt beispielsweise bei 1:2, das einer Quinte bei 2:3. Vor dem 18. Jahrhundert wurde allerdings nicht mit Frequenzen gerechnet, sondern die Saitenlängen eines Monochords verwendet, die sich reziprok zum Frequenzverhältnis verhalten. Erklingt beim Anschlagen einer Monochordsaite beispielsweise der Ton c, wird beim Teilen der Saite um die Hälfte, also im Verhältnis 1:2, das c1 resultieren, das Intervall zwischen diesen beiden Tönen beträgt genau eine Oktave. Wird die Saite gedrittelt, erklingt im Verhältnis 2:3 die Quinte, wird sie geviertelt, erklingt im Verhältnis 3:4 die Quarte.

Ende des 19. Jahrhunderts wurde von Alexander John Ellis eine Einheit zur Messung von Intervallen eingeführt, die so genannten „Cents“. Ein Cent kann als ein sehr kleines Intervall verstanden werden. Liegen zwei Töne mit dem Abstand einer reinen Oktave auseinander, beträgt dieses Intervall 1200 Cents, eine reine Quinte hat ein Frequenzverhältnis von 2:3, liegt also bei 702 Cents.

Die Frequenzverhältnisse lassen sich auch verwenden, um Intervalle zu berechnen. Im folgendem werden beispielhaft Oktave, Quinte und Terz ausgehend vom Kammerton a berechnet.

Ein Musiker trifft mit der Wahl seiner Tonart immer eine gewisse Auswahl an Tönen. Problematisch ist nur, dass die physikalischen Eigenschaften der Musik nicht perfekt sind. Theoretisch gesehen müsste jeder Ton durch das aufeinanderstapeln von Quinten und dem jeweiligen Oktavieren der Töne einfach zu berechnen sein. Wird der Grundton c um zwei Quinten erhöht, werden die Töne g und d1 erreicht. Das d1 kann um eine Oktave erniedrigt und erneut um zwei Quinten erhöht werden. So können theoretisch gesehen die Töne c, g, d1, d, a, e1, e, h, usw. bestimmt werden. Wird dieses Schema weiter durchgeführt, wird ein Ton erreicht, der auf unserer heutigen Tastatur klar wieder als Ausgangston c identifiziert werden kann. Das anfängliche c wäre um 12 Quinten erhöht und um 7 Oktaven erniedrigt worden. Dies lässt sich zusammen mit den Verhältnissen der Quinten (3/2) und Oktave n (2/1) in folgender Formel berechnen, wobei die Potenzen die Anzahl der Quinten und Oktaven wiedergeben.

ε wird als „Pythagoreisches Komma bezeichnet und beschreibt den Abstand zwischen dem anfänglichen c und dem aus Intervallen hergeleiteten c. Wären diese beiden Töne identisch, würde ε genau 1 betragen, tatsächlich beträgt die Abweichung sogar ca. einen viertel Ton. Dieser äußert sich darin, dass bei einer quintreinen Stimmung die letzte Quinte stark verkürzt ist und auch als „Wolfsquinte“ bezeichnet wird.